El límite del oscilador cuántico a la partícula libre

G.S. Pogosyan, L.E. Vicenty K.B. Wolf

Centro de Ciencias Físicas, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 48-3, 62251 Cuernavaca, Morelos

Recibido el 15 de octubre de 2004; aceptado el 26 de enero de 2005

Cuando permitimos que la constante de Hooke de un oscilador armónico tienda a cero, el sistema se vuelve libre. Examinamos este límite en el contexto de la mecanica cuantica, donde los valores cuantizados de la energía se acumulan en un continuo y donde las funciones de Hermite se vuelven ondas planas.

Descriptores: Oscilador armonico; límites regulaes; ondas planas.

When we let the Hooke constant of a harmonic oscillator tend to zero, the system becomes free. We examine this limit in the context of quantum mechanics, where the quantized energy values accumulate to a continuum, and where the Hermite functions become plane waves.

Keywords: Harmonic oscillator; regular limits; plane waves. PACS: 02.30.Mv; 03.65.Db

1. Introducción: los sistemas clásicos

El oscilador armónico clásico es un sistema mecánico cuya fuerza de restitucion —nq es proporcional, por la constante de Hooke n, a la separacion q entre el punto masa i y el cen­tro del oscilador. Su energía es

y su valor oscila en el tiempo entre el sumando cinetico (proporcional a p²) y el sumando potencial (proporcional a q²); pero su suma, la energía total (1), es constante. El movimiento de su posicion q(t) (así como su momento p(t)=¡idq(t)/dt) es armonico, es decir, su trayectoria es una sinusoide:

donde el punto de retorno q_max y la fase 4> estan determinadas por las condiciones iniciales.

Cuando la fuerza de restitucion de un oscilador se debili­ta hasta desaparecer (es decir, su constante de Hooke tiende a cero, n — 0), el sistema se convierte en una partícula libre, cuya energía es toda cinetica,

En este artículo consideraremos el sion de osciladores, etiquetados por yos parametros de Hooke son nj límite de una suce- j £ {1,2,...}, cu­, de modo que línij^oo nj = 0. Las trayectorias q^(j) (t) formaran una suce­sion correspondiente de sinusoides cuyas amplitudes y períodos (uj^(j))^-1 en (2) crecen proporcionales a j^1/2 — oo.

El límite de estas trayectorias —en mecanica clasica— son líneas rectas.

En mecanica cuantica unidimensional, un potencial no-singular cuya contraparte clasica mantenga a las partículas en un intervalo finito (compacto), gozara de un espectro dis­creto y no-degenerado —y el del oscilador armonico ademas es igualmente espaciado. Entretanto, la partícula cuantica li­bre despliega un continuo de energías (cero y positivas); para cada valor (excepto cero), las funciones seno y coseno son las dos soluciones degeneradas en energía y distinguidas por su paridad [1]. Para examinar el proceso de límite de una su­cesion de osciladores cuanticos al sistema libre debemos re­emplazar el argumento somero del caso clasico anterior, por una observacion mas cuidadosa de como las energías discre­tas de los osciladores tienden a un continuo, y de como las funciones de onda de Hermite limitan a las funciones trigo­nometricas.

El límite libre del oscilador armonico y otros límites si­milares, aunque aparecen como formulas entre funciones es­peciales en tablas [2], no hemos encontrado mencion de es­te caso concreto en los textos de mecanica cuantica. Aquí, nuestro proposito es analizar la contraccion que sufren siste­mas cuanticos que denominaremos "discretos o compactos" a límites "continuos o no-compactos" mediante este ejemplo distinguido. En la Sec. 2 recordaremos los sistemas cuanticos correspondientes; las tacticas para probar el límite serán ex­puestas en la Sec. 3 y aplicadas en la Sec. 4. Comentaremos el contexto de esta en otras contracciones analogas en la Sec. 5.

⁽³⁾ 2. Ecuaciones, energías y funciones de onda

La ecuacion de Schrodinger del oscilador armonico cuantico, sus soluciones ^_n{q,uj) de cuadrado integrable y valores propios de la energía, son bien conocidos [1]:

h² d² «J Y^dq² + ~2~

(4)

La posicioÍ n q tiene unidades de distancia y las funciones de onda normalizadas [vease abajo (8)] tienen unidades de raíz de distancia inversa. Definimos la variable y funciones de on­da sin dimensiones

que resuelven la Ec. (4) en teÍrminos de una funcioÍn gaussiana decreciente y polinomios de Hermite H_n(x). Ellas son

y la normalizacioÍn (sin unidades) es tal que

El limite cuando la constante de Hooke se ha hecho cero, el sistema es libre, y las funciones de onda del sistema obedecen la ecuación de Schodinger de este sistema,

Las soluciones de la parida por son las funciones senos y cosenos, cuya normalización se hace de manera que su integral sebre q no tenga unidades como se 6 y 8 esto se logra redefiniendo

Donde es conveniente usar parámetro p de momento, y las funciones trigonométricas

La normalización de estas funciones es en el sentido Dirac,

y tiene unidades de distancia, la cual se puede comparar con (8). (Las normalizaciones de Dirac deben probarse con cuidado, integrando ambos miembros de la ecuacioÍ n anterior en compañía con funciones suaves de decrecimiento rapido, con un intercambio cuidadoso de integrales [3]).

3. Expresiones apropiadas para el límite

Analizaremos primero las energÍías de una secuencia de osci­ladores cuyas constantes de Hooke {nj}^o=₁ tienden a cero. SeraÍ maÍs conveniente usar las frecuencias

en terminos de las cuales los niveles de energía E_n (jj) es-taraÍn dados por (5); eÍstos son igualmente espaciados, con una separacion constante huj, decreciente con j, y un ni­vel base (l/2)hjjj — 0 al cual colapsaran todos los esta­dos con n finita. Cuando escogemos y fijamos una energía finita positiva para la partícula libre, F_v = hv en (9), una se­cuencia de osciladores j n en niveles n crecientes que tienden asintoÍ ticamente a esa energÍía es

Por ello, la secuencia que escogemos consistiraÍ de nive­les n cada vez maÍs altos, en osciladores cada vez maÍs an­chos: jj_n ~ v/n. En consecuencia, adoptaremos la secuen­cia jj_n = v/n (n > 1), porque es la mas sencilla de tratar analÍíticamente.

Escogimos la base de funciones seno y coseno en (11) porque tienen paridad definida, 4>p (—q)=a 4>p (q), asÍí como la tienen las funciones de Hermite en (7), i(j_n(—x) = (—\)ⁿ^_n(x), en cada oscilador en la secuencia. SerÍía erroÍ neo escoger, por ejemplo, las ondas viajeras

pues la secuencia no convergerÍía a ellas. Similarmente, cier­tas formas funcionales son maÍs apropiadas que otras para evi­denciar el límite que nos ocupa. En la funcion de onda (7), el factor gaussiano e^{-x /2} = exp(-MJJ_nq²/2h) tiene clara­mente el límite 1 cuando n — oo, pero el límite n — o de los polinomios de Hermite H_n(x) no aparece bien defi­nido. El meÍtodo de anaÍlisis que ofrecemos en este artÍículo consiste en reescribir los polinomios de Hermite como se­ries hipergeometricas confluentes, o funciones de Kummer \F\(a] b; z) = M(a' b z) [4], cuyas propiedades asintoticas se prestan oÍptimamente para este propoÍsito. Sus expresiones son [4]:

Agradecimientos

Es un gusto agradecer comentarios de Natig M. Atakishiyev (Instituto de Matem´aticas, UNAM/Cuernavaca) y de Jamil Daboul (Departamento de F´ısica, Universidad Ben Gurion, Beer Sheva), dando fe del apoyo de la DGAPA–UNAM al proyecto PAPIIT 102603 O´ ptica Matema´tica, as´ı como la beca de posgrado de L.E.V. contenida en el proyecto SEP–CONACYT 44845 del mismo nombre.

Obtenido de: http://rmf.fciencias.unam.mx/pdf/rmf-e/51/1/51_1_018.pdf

Tirso Ramírez

CRF